衡水钢绞线规格 数学虹斩获菲尔兹，她筹谋的“三维挂谷猜想”说了个啥？

当地时分 7 月 23 日衡水钢绞线规格 ，2026 年数学大会（ICM）在好意思国费城拉开帷幕。大会开幕式上，数学定约认真公布了本届菲尔兹（Fields Medal）得主名单：邓煜、约翰 · 帕登（John Pardon）、雅各布 · 王人默曼（Jacob Tsimerman）与虹四位数学共同摘得了这堪称"数学界诺贝尔"之的荣誉。

这是菲尔兹自 1936 年培育以来的历史时刻。虹与邓煜是次登上这台的籍数学，虹则成为了该项历史上三位女得主。

虹这次获的中枢责任之，是她与约书亚 · 扎尔（Joshua Zahl）在 2025 年作完成的项冲破：他们破解了困扰数学界百余年的三维挂谷猜想（Kakeya Conjecture）。

这个看似只是几何趣题的猜想，其实路串起了长入分析、数论、偏微分程等多个当代数学分支，而虹，恰是通晓这个猜想刻的东谈主之。

科普子"返朴"捏续跟进关联话题，春联系学术内容进行了度解读。

如厕时遭偷袭的日本武士与黎曼积分

数学是用浅陋的词语来抒发艰念念想的科学。

——德华 · 卡斯纳（Edward Kasner）和詹姆斯 · 纽曼（James Newman）

早在 2025 年二个月份还余下几天未过完时，数学界仿佛就看到了以前全年度进击的数学后果：那时年仅 30 多岁的纽约大学柯朗数学筹谋所证明虹与那时任职于不列颠哥伦比亚大学的约书亚 · 扎尔（Joshua Zahl）作，在预印本网站 arXiv 上提交了篇长达 127 页的论文，宣告证明了三维挂谷猜想（Kakeya Conjecture）。

虹和约书亚 · 扎尔在 arXiv 发布的论文预印本，声称证明了三维挂谷猜想 | 图源： [ 2502.17655 ] Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions

挂谷猜想脱胎于的转针趣题。1917 年，日本数学挂谷宗 ( Soichi Kakeya，1886-1947）提议了被后世以他的姓氏定名的问题：

在某些图形中，长度为 1 个单元的线段（根针）不错转过 180°，在这个历程中该线段老是保捏在该图形之内，在总共这么图形里，哪种图形具有小面积？需要重视的是，沿着线段上前后移动，此时线段并未扫过任何面积。

据说，挂谷的灵感来自遭到偷袭的日本武士，他把武士刀概述成期许的不占空间的长针，同期为了便，把问题截止在二维平面上。挂谷评注谈：

日本武士有把长刀用于自保，他需要能够在职何空间内目田地挥舞武士刀，论空间大小如何即使是在茅房里。

注：对于挂谷转针问题的原始表述和关联历史，不同文件给出的记载稍有各别，这里为了表述便，继承上海科技训诲出书社出书的"发现数学丛书"系列中朱利安 · 哈维尔（Julian Havil）所著的《弗成念念议？——有悖直观的梗遏制境令东谈主咋舌的解答》书的说法。

挂谷宗的个东谈主肖像照 | 图源：东京大学筹谋生院数学科学筹谋科珍视的影像尊府

个半径为 0.5 的圆是容易意象的可餍足条目的图形，但它显然不是总共餍足条目的图形内部积小的。

挂谷和他的共事以止境他些东谈主初就测，个为 1 的等边三角形便是能餍足题中条目、具有小面积的凸图形。有才华和抱负的匈牙利裔数学朱利尔斯 · 鲍尔（Julius Pál）从匈牙利波兹索尼（现斯洛伐克都布拉迪斯拉发）迁居到了丹麦的哥本哈根，并在 1921 年发表了关联证明，证实为 1 的等边三角形便是餍足挂谷条目的面积小的凸图形。

等边三角形便是餍足挂谷条目的面积小的凸图形。| 图源：《弗成念念议 : 有悖直观的梗遏制境令东谈主咋舌的解答》， 13 章

资助鲍尔假寓哥本哈根的是数学哈拉尔 · 玻尔（Harald Bohr）——物理学、量子表眼前驱尼尔斯 · 玻尔（Niels Bohr）的弟弟。有可能恰是这位数学玻尔向鲍尔先容了挂谷的转针谜题。

另面，挂谷和早期筹谋者臆想，对于非凸的图形，谜底指向三瓣线。它是内摆线族中的个出奇成员。不外不久之后，东谈主们就通晓到还有面积小的图形。

三瓣线丨图源：Kakeya set - Wikipedia衡水钢绞线规格

同样在 1917 年，来自俄罗斯的数学艾伯拉姆 · 贝西科维奇（Abram Besicovitch）科罚了个看似不同的问题。颇具巧意味的是，贝西科维奇同样赶赴丹麦寻求筹谋职位，而他的主要资助者亦然哈拉尔 · 玻尔。

又过了好几年，贝西科维奇才传闻了挂谷阿谁"具有别有洞天的表述直不雅"的谜题，况兼提供了个不同寻常、出东谈主意象的解答。

1917 年，贝西科维奇那时在念念考底下的黎曼积分问题：

假如在平面上有个黎曼可积的函数 f，那么是含糊存在着个直角坐标系（x，y），使得对于每个固定的 y，f（x，y）当作以 x 为变量的函数黎曼可积，况兼 f 的二次积分就等于重积分 ∫∫f（x, y）dxdy？

贝西科维奇为了回复上述问题，构建了这么个集：个包含了指向总共向的单元线段，但面积（严格来说是勒贝格测度）为 0 的图形。

这个集被定名为贝西科维奇集（Besicovitch set）。因为这种线段集的存在，是以上述问题的谜底是含糊的。

今天，站在自后东谈主的视角，不错看出这个问题推行上是对实分析中的进击定理—— Fubini 定理的探索和挖掘。然则，数学的魔力经常就在于它的出东谈主意象，在贝西科维奇集上应用所谓的"鲍尔默契"（前文提过的那位鲍尔），果然不错证明挂谷转针问题的谜底是：不存在个面积小的图形，因为针扫过的面积不错淘气地接近于 0。

如斯来，同归殊涂，分析学上的积分问题就和平面上的几何问题建立起奇妙的辩论，贝西科维奇集也因此被称为挂谷集（Kakeya set）。

此外，值得提的是，蚁集上常见的科普著述和部分出书物会犯个诞妄：许多东谈主误以为面积为 0 的贝西科维奇集的存在自己，不错告成出"针扫过的小面积不错是 0 "这论断。但是，把指向总共向的针告成摆放到起得到的图形，和把根针一语气旋转 180° 扫过的图形是两码事。推行上，针法从贝西科维奇集里的个位置一语气地变到另位置，且使扫过的面积是 0。是以才需要"鲍尔默契"的手段，同期，论断是针扫过的面积不错淘气小，但并非为 0。

挂谷猜想——从面积到维度

在实数中，对象可能至极接近，但推行上却不是。不知何以，这便是时刻的要津方位。

——约书亚 · 扎尔

构造贝西科维奇集的法有许多，经典的是被称为"佩龙树"的手段，它能够简化贝西科维奇的原始构造，以奥斯卡 · 佩龙（Oskar Perron）定名。

联想个为 1 的等边三角形（还铭刻这种三角形是小的餍足挂谷问题的凸图形吗），把它等分，再把两个直角三角形稍许叠在起，如下图。这个新图形面积比三角形小，但在其中，上头两个角的每个角内都能找出长度 ≥1 的线段。

目下再交运行，把三角形平平分为 8 个，把它们两两叠在起，再两两叠在起，这种图形就叫作佩龙树。如若重复这个身手，把三角形分为 16 个，32 个，……，2n 个，显然通盘图形的面积不错越来越小，况兼不错证明跟着身手增长，图形面积限趋近于 0。

佩龙树的构造历程 | 图源：Kakeya set - Wikipedia

这么，挂谷的转针问题似乎得到了的科罚。是以，这又是个至极意思、至极有难度的文娱数学问题。但也就仅此辛勤了吗？错！

应用平面上的贝西科维奇集科罚了转针趣题之后，数学运行关心这个集自己的质，尤其是它们的分形维度。

由于它包含淘气向的单元向量，直观上，该集的维度不应该小于 2。这便是初的挂谷猜想。事实上，对于测集来说，维数有不啻种界说。总的来说，用得多的如故豪斯谈夫（Hausdorff）维数和闵可夫斯基（Minkowski）维数，在这里只先容前者。

分形结构（Fractal Structure）是种自相似的几何图形，即论放大或缩小些许倍，都能看到不异或访佛的时局。分形结构具有限的复杂度和细节，时时出目下天然界中，比如雪花、树叶、海岸线等。

有筹谋标明，当事物的形式出现某种自我重复的模式时，会在东谈主的大脑里唤起狂妄的嗅觉，从而缩短压力，让东谈主感到舒徐收缩。东谈主类斯文早在懵懂之中，就下通晓地学会哄骗这特征：想想里床单、墙纸和窗帘上的图案，这被称为"分形交流"。旨趣好像是重复的视觉元素不错缩短大脑处理视觉信息时所用到的运算资源，是以会令东谈主感到狂妄愉悦。

分形 Gosper 弧线的自身重复式构造 | 图源：Fractal curve - Wikipedia

分形的存在维度不是个整数，咱们不错用豪斯谈夫维数界说它。非论被测图形何等复杂，咱们总能用块块半径为 ε 的小圆形遮盖（允许互相部分重迭）住它（因为咱们不错用小圆形遮盖住全平面衡水钢绞线规格 ，是以天然不错遮盖住平面上的淘气图形）。

演示分形维度的贴近野心式 | 图源：Hausdorff dimension - Wikipedia

咱们接头遮盖住被测图形的小圆的个数 N（ε），然后接头对数运算 [ LogN ( ε ) /Log ( 1/ε ) ] ，当 ε 趋于 0 时的限便是分形的豪斯谈夫维数。容易考证，当被测图形充足规整的时候，预应力钢绞线豪斯谈夫维数便是时常风趣的维数。

回到挂谷猜想，在履历了半个世纪的探索后，1971 年罗伊 · 戴维斯（Roy Davies）得手证明，平面上的贝西科维奇集的豪斯谈夫维数和闵可夫斯基维数巧合是 2。由于 1 维的情况是凡俗的，数学跳动臆想，对于淘气正整数 n，在 n 维欧几里得空间中，包含总共向的单元向量的集，其闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数是否都等于 n？

这便是挂谷猜想的完竣表述。对于 3 维以及维度的情形，它就像是难以攻略的碉堡，违背着代又代数学的攻势。因为 n 维空间自己坚信包含了总共向的单元向量，是以这里的难点其实是维的贝西科维奇集（挂谷集）——占据"体积"为 0，但又包含了总共进取单元向量的集——的维度是否充足"大"，能够和空间自己特地。尽管包括托马斯 · 沃尔夫（Thomas Wolff）、让 · 布尔甘（Jean Bourgain，1994 年菲尔兹得主）、内茨 · 卡茨（Nets Katz）、陶哲轩等在内的数学都曾在此域取得进击的阶段后果，但即便对于 n=3 这浅陋的出奇情况，仍是力有不逮。

化限为有限，挂谷猜想的确切价值

如若你合计这个浅陋，那你就诬蔑了这个问题。

—— C++ 说话之父 本贾尼 · 斯特劳斯特卢普（Bjarne Stroustrup）

天然对挂谷猜想的筹谋催生了几何测度论这当代数学分支学科，但直到 1971 年查尔斯 · 费夫曼（Charles Fefferman，1978 年菲尔兹得主）在论文"The Multiplier Problem for the Ball "中指出该猜想和当代长入分析域的辩论之前，数学界庞杂把它视作是个难度的风趣问题——亦即严肃和内涵不及，筹谋它单纯是为了餍足学者的好奇心和玩赏数学纯正之好意思的审好意思主意。

其实，重视到 1917 年贝西科维奇念念考的阿谁积分问题和挂谷转针问题辩论在起，那么，如若挂谷猜想和当代长入分析里进击的课题之间存在辩论，也不至于让咱们大吃惊。

按《10000 个科学梗阻 · 数学卷》书的说法，挂谷集（贝西科维奇集）与长入分析、数论、偏微分程等多个分支产生了刻的辩论，举例在长入分析的漂浮积分表面和 Dirichlet 数的散播中都发达着进击作用，同期与波动程解的局部光滑有密切辩论。

推行上，贝西科维奇集的维数信息将决定系列数学猜想的"死活"。这些数学猜想鲜为东谈主知，在公众公论中毫名气，但在数学眼里，它们的进击涓滴不低于的黎曼猜想。不错说，贝西科维奇集的几何时局撑捏起了偏微分程、长入分析和其他域的多数课题。其中引东谈主注主意是该猜想是分析学中三大环环相套的中心猜想培育的要条目。

具体来说，在傅里叶分析里有所谓的截止猜想和 Bochner-Riesz 猜想，在大的域里还有局部平滑猜想。包含和难度递进关系如下：

挂谷猜想 ⊂ 截止猜想 ⊂ Bochner-Riesz 猜想 ⊂ 局部平滑猜想

这也意味着，旦挂谷猜想不培育，则后续几个猜想全不培育。当代分析学就不错含泪休息了。

这组数学猜想的进击推行上源于傅里叶变换的进击。傅里叶变换不错将简直总共函数暗意为正弦波的和，它是物理学和工程师高大的数学器具，可与其同日而论的无意惟一矩阵表面；进击还要的，应该就只剩加减乘除四则运算章程这类基础知识了。

傅里叶变换是求解微分程主要的器具，亦然省略情旨趣等量子力学念念想背后的数学基础，同期它在推行应用上也具有与伦比的价值，在分析和处理信号面发达了进击作用，使当代手机等事物成为可能。

从截止猜意象局部平滑猜想，各在不同进程上制约了傅里叶变换的"间隙"，是以数学和工程师坚信自得生涯在这些猜想为确凿全国里，因为在这么的全国里，傅里叶变换带来的"间隙"老是不错"适度"的，起码不会倒霉到出预期。

此外，数学们惊诧地发现，长入分析里用于上述猜想的时刻也不错用来证明看似不关联的数论域的主要收尾（不错动黎曼猜想的证明）。

水涨船，当挂谷猜想和分析学的中心课题建立起辩论之后，也成绩了多的关心。不外缺憾的是，它太难了。单说 n=3 时的出奇情况，直到 1995 年，托马斯 · 沃尔夫仅能证明 3 维空间中的贝西科维奇集的豪斯谈夫和闵可夫斯基维数须至少为 2.5。这下限很难提。到 1999 年，陶哲轩和作家才冲破了闵可夫斯基维数，得到新的下界：2.500000001。尽管只是转换了 0.000000001，但它是从到有的建立。因此他们的论文被《数学年刊》（Annals of Mathematics）刊发，这是数学域里四大顶刊物之。

在陶哲轩等东谈主的这篇论文之后，再次取得冲破的便是本文开头说起的两位学者——虹和扎尔——他们于 2022 年沿用陶哲轩等东谈主的框架，并创造地引入投影表面，终在类出奇的贝西科维奇集上证明了 3 维空间里的挂谷猜想！他们因此被认为是对贝西科维奇集通晓刻的东谈主。

通晓刻的东谈主

（采取筹谋向）如故看兴致吧，有兴致就读，没兴致也没要读 ……

——虹

2023 年 7 月，虹在母校作学术诠释 | 图源：北京数学筹谋中心

虹在 16 岁时就以考 653 分的成绩得手地考入北京大学地球与空间科学系，自后出于对数学的浓厚兴致，她转到了数学系。

在麻省理工学院读博时间，她师从数学拉里 · 古斯（Larry Guth，与前边说起的陶哲轩等东谈主样，是几何测度论和分析域的顶），运行入筹谋长入分析域。于 2023 年 7 月起，她在纽约大学柯朗数学筹谋所担任证明。

扎尔则是陶哲轩的学生，他于 2013 年拿到博士学位。两东谈主在各个大问题上都作念出了为进击的责任。他们的学术建立，得到了数学界的度招供。

约书亚 · 扎尔丨图源：personal.math.ubc.ca/~jzahl/

2020 年，虹、古斯和欧雨濛作动了 Falconer's distance set problem ( Inventiones 2020 ) ；2023 年虹和 Kevin Ren 科罚了 Furstenberg set conjecture。而在 2020 年控制，Furstenberg 猜想，作念分形几何的学者还庞杂认为这是个难以科罚或者说目下还莫得器具不错科罚的问题。2025 年，虹和扎尔又通告科罚了 3 维挂谷问题，令东谈主忍不住期待解答 Falconer's distance set problem 的天。致使于客岁上半年，就有提名虹为菲尔兹候选东谈主的呼声。

Furstenberg set conjecture 是分形几何域内的数学梗阻。具体来说，这个猜想与豪斯多夫维数关联，波及集的复杂度和大小。该猜想提议，对于个集上的特定几何结构（如在平面中由直线构成的集），其豪斯多夫维数须餍足某种条目。从描摹上也能看出来，它和挂谷猜想至极之像。具体而言，如若个集在不同向的投影都具有某种结构，那么该集的举座维数应该有个下限。这个猜想在数学界被普通筹谋，因为它不仅波及集论和几何，还与能源系统和数论等域联系。

在虹的论文发表后，筹谋市集平台认为其有可能赢得来岁数学界的项——菲尔兹丨图源：https://manifold.markets/nathanwei/who-will-win-the-2026-fields-medals

虹和扎尔的新论文是浩帙鸿篇（127 页）。作家把他们 2022 年 ( Sticky Kakeya sets and sticky Kakeya conjecture ) 和 2024 年 ( The Assouad dimension of Kakeya sets in R³ ) 两篇著述与这篇起称为三部曲。在先容部分，作家写到他们的证明是基于并已毕了在" Katz-Tao program "框架里科罚挂谷猜想的念念路。

由于分析时刻处理不了指向总共向的单元向量，应用长入分析的器具，先就要把问题碎裂化。基本念念路便是，赋予单元向量个"宽度"——不再把它们当成期许的宽度的几何线段，而是确切的实体针。同期他们野心出贝西科维奇集在集的向量元素被赋予宽度后，赢得的体积。在比拟了宽度与实体针的数值关系后，借助反证法，不错得到个矛盾，进而出猜想是培育的。

推行证明历程中，难出现些例外情况，它们的结构黑白常"丑陋"的，需重心点分析。从著述篇幅也不错看出，这个历程并不狂妄。

攻克三维挂谷猜想后，客岁 9 月，虹加入了赫赫闻明的法国等筹谋所（IHES）担任常任证明。该筹谋所目下惟一 5 位数学域的常任证明，往届数学常任证明共 13 东谈主，其中 8 东谈主是菲尔兹赢得者。

不错期待在不远的改日，数学将以其到的立异念念维和严谨的筹谋法速即崛起，渐渐在行流派学幅员上占据举足轻重的地位。同期，越来越多才华横溢、敢于冲破传统局限的女数学也曾崭露头角，她们，如好意思丽星辰，用超卓的聪惠为全国数学的发展注入延绵不时的新能量。

参考文件

[ 1 ] Hong Wang, Joshua Zahl, The Assouad dimension of Kakeya sets in R³, arXiv:2401.12337

[ 2 ] Hong Wang, Shukun Wu, Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities, arXiv:2411.08871

[ 3 ] Terry Tao, The three-dimensional Kakeya conjecture, after Wang and Zahl, What's new

[ 4 ] Kevin Ren, Hong Wang, Furstenberg sets estimate in the plane, arXiv:2308.08819

[ 5 ] 東雲博士不会 PDE, 组学的多项式法：有限域 Kakeya 猜想 , 知乎

[ 6 ] 5 岁上学两次跳——花季仙女 16 岁考上北大诀要 , 网

[ 7 ] Fefferman, Charles. "The multiplier problem for the ball." Annals of mathematics 94.2天津市瑞通预应力钢绞线有限公司相关词条:铝皮保温施工     隔热条设备     钢绞线    玻璃棉卷毡    保温护角专用胶

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